Question

【题目】如图①所示的等边三角形的边长为，是边上的高，，分别是边的中点现将沿折叠，使平面平面，如图②所示.

① ②

（1）试判断折叠后直线与平面的位置关系，并说明理由；

（2）求四面体外接球的体积与四棱锥的体积之比.

Answer 1

【答案】（1）平面，见解析；（2）

【解析】

（1）由已知中、分别为、中点，由三角形中位线定理可得，由线面平行的判定定理可得平面

（2）以，，为棱补成一个长方体，则四面体的外接球即为长方体的外接球，进而求出球的体积，和四棱锥的体积，可得答案．

解：（1）平面，

证明：、分别是，的中点，

平面，平面

平面.

（2）以，，为棱补成一个长方体，则四面体的外接球即为长方体的外接球.

设球的半径为，则，，于是球的体积.

又，，.

故四面体外接球的体积与四棱锥的体积之比为.