Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。

（1）求点P到平面ABCD的距离；
（2）求面APB与面CPB所成二面角的大小。

Answer 1

解：（1）作PO⊥平面ABCD，垂足为点O 连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PE ∵AD⊥PB， ∴AD⊥OB， ∵PA=PD， ∴OA=OD， 于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD 由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角， ∴∠PEB=120°，∠PEO=60° 由已知可求得PE= ∴PO=PE·sin60°=， 即点P到平面ABCD的距离为。
（2）如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF， 则AG⊥PB，FG//BC，FG=BC ∵AD⊥PB， ∴BC⊥PB，FG⊥PB， ∴∠AGF是所求二面角的平面角 ∵AD⊥面POB， ∴AD⊥EG 又∵PE=BE， ∴EG⊥PB，且∠PEG=60° 在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°= 在Rt△PEG中，EG=AD=1 于是tan∠GAE=， 又∠AGF=π-∠GAE 所以所求二面角的大小为π-arctan。