Question

11．如图，已知圆M：x²+（y-4）²=4，Q是x轴上的动点，QA、QB分别切圆M于A，B两点．
（1）若点Q的坐标为（2，0），求切线QA、QB的方程；
（2）求四边形QAMB的面积的最小值及此时点Q的坐标；
（3）若AB=$\sqrt{14}$，且Q在x轴正半轴上，求四边形QAMB外接圆的方程．

Answer 1

分析 （1）设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求切线QA、QB的方程；
（2）求出四边形QAMB的面积的表达式，利用|MQ|＞|MO|求出面积的最小值；
（3）设AB与MQ交于点P，通过MP⊥AB，MB⊥BQ，求出|MP|，求出|MQ|，确定Q的坐标，即可求四边形QAMB外接圆的方程．

解答 解：（1）设过点Q的圆M的切线方程为x=my+2，------（1分）
则圆心M到切线的距离为2，∴$\frac{|4m+2|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=2，
∴m=-$\frac{4}{3}$或0，------（4分）
∴切线QA、QB的方程分别为3x+4y-6=0和x=2------（5分）
（2）∵MA⊥AQ，∴S_MAQB=|MA|•|QA|=$\sqrt{|MQ{|}^{2}-1}$≥$\sqrt{|MO{|}^{2}-1}$=$\sqrt{15}$，此时Q（0，0）；-----（10分）
（3）设AB与MQ交于点P，则MP⊥AB，MB⊥BQ，|MP|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△MBQ中，|MB|²=|MP|•|MQ|，解得|MQ|=4$\sqrt{2}$
设Q（x，0），则x²+16=32，Q在x轴正半轴上，∴x=4
∴四边形QAMB外接圆的方程是（x-2）²+（y-2）²=8．----（14分）

点评 本题考查圆的切线方程的求法，四边形面积的求法，两点间的距离公式的应用，考查转化思想与计算能力．