Question

(08年龙岩一中模拟文)（12分）

如图，已知直线与抛物线相切于点P(2，1)，且与x轴交于点A，O为坐标原点，定点B的坐标为（2，0）.

（Ⅰ）若动点M满足，求点M的轨迹C；

（Ⅱ）若过点B的直线（斜率不等于零）与（Ⅰ）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.

Answer 1

解析：（Ⅰ）由，  

∴直线的斜率为， ………………………1分

故的方程为，

∴点A坐标为（1，0） ……………………………………… 2分

设    则，

由得

整理，得 ………………………………………………4分

∴动点M的轨迹C为以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为2的椭圆 …………………………………………………………………………………… 5分

 

（Ⅱ）如图，由题意知直线的斜率存在且不为零，设方程为y=k(x－2)(k≠0)①

将①代入，整理，得

，

由△>0得0<k²<.   设E(x₁，y₁)，F(x₂，y₂)

则 ②     …………………………………………7分

令，

由此可得

由②知

.

∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是（3－2，1）.………………12分