Question

设x，y∈R，i，j是直角坐标平面内x，y轴正方向的单位向量，若a=xi+(y+2)j，b=xi+(y-2)j，且|a|+|b|=8．

(Ⅰ)求点M(x，y)的轨迹C的方程；

(Ⅱ)过点(0，3)作直线l与曲线C交于A、B两点，设，是否存在这样的直线l，使，若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：(1)∵a=(x，y+2)，b=(x，y-2)，|a|+|b|=8

∴=8

由椭圆定义知，M点轨迹是以(0，-2)和(0，2)为焦点的椭圆，设其方程为=1(a＞b＞0)

依题意  ∴a=4，c=2，b²=a²-c²=12

∴点M(x，y)的轨迹方程为=1

(Ⅱ)∵l的斜率一定存在，设l：y=kx+3

由消去y,整理得(3k²+4)x²+18kx-21=0

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．∴

∵   ∴四边形OAPB为平行四边形

又∵   ∴四边形OAPB为矩形 

∴=0  即x₁x₂+ y₁y₂=0

∴(1+k²)x₁x₂+3k(x₁+x₂)+9=0

∴-(1+k²)+9=0

解得  k²=    ∴k=±，经检验，k=±符合题意所以存在直线l：y=±x+3