Question

（2007•静安区一模）（理） 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，点O为该正方形的中心，侧棱PA=PC，PB=PD．
（1）求证：四棱锥P-ABCD是正四棱锥；
（2）设点Q是侧棱PD的中点，且PD的长为2a．求异面直线OQ与AB所成角的大小．（用反三角函数表示）

Answer 1

分析：（1）先根据PA=PC，得到PO⊥AC；同理PO⊥BD可得PO⊥平面ABCD； 再结合O是正方形ABCD的中心即可证：四棱锥P-ABCD是正四棱锥；
（2）以O为原点，正方形对角线为x，y轴，求出个对应点的坐标以及对应向量的坐标，再代入由数量积求向量夹角的计算公式即可得到结论．

解答：解：（理）（1）连接PO，因为PA=PC，所以PO⊥AC；       （2分）
同理PO⊥BD；所以PO⊥平面ABCD；                   （4分）
又因为O是正方形ABCD的中心，
所以四棱锥P-ABCD是正四棱锥．（6分）
（2）解：以O为原点，正方形对角线为x，y轴，A(0，-

2

2

a，0)，B(

2

2

a，0，0)，P(0，0，

14

2

a)，

OQ

=(-

2

4

a，0，

14

4

a)，

AB

=(

2

2

a，

2

2

a，0)，（10分）
设

OQ

与

AB

的夹角为θ，则cosθ=-

1

4

．设

OQ

与

AB

的夹角为θ，则cosθ=-

1

4

．
所以异面直线OQ与AB所成角的大小为arccos

1

4

．             （14分）

点评：本题主要考查异面直线及其所成的角以及棱锥的结构特征．正四棱锥的要求是下底面为正方形，顶点在底面内的射影为下底面的中心．