Question

21、某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p₁，寿命为2年以上的概率为p₂．从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换．
（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；
（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；
（Ⅲ）当p₁=0.8，p₂=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）．

Answer 1

分析：（I）一只灯泡需要不需要换，可以看做一个独立重复试验，根据公式得到在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率和需要更换2只灯泡的概率．
（II）由题意知在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡是两个独立事件，包括两种情况，这两种情况是互斥的，根据独立重复试验和互斥事件的概率公式，得到结果．
（III）由题意知，至少需要更换4只灯泡包括需要环4只，需要换5只，根据独立重复试验的概率公式写出结果．

解答：解：因为该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p₁，寿命为2年以上的概率为p₂．
所以寿命为1～2年的概率应为p₁-p₂．其分布列为：

（I）一只灯泡需要不需要换，可以看做一个独立重复试验，根据公式得到
在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为p₁⁵，需要更换2只灯泡的概率为C₅²p₁³（1-p₁）²；
（II）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡是两个独立事件的和事件：
①在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p₁）²；
②在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p₁（1-p₂）．
故所求的概率为p₃=（1-p₁）²+p₁（1-p₂）．
（III）由（II）当p₁=0.8，p₂=0.3时，在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡的概率p₃=（1-p₁）²+（p₁-p₂）=0.54．
在第二次灯泡更换工作，至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况：
①换5只的概率为p₃⁵=0.54⁵=0.046；
②换4只的概率为C₅¹p₃⁴（1-p₃）=5×0.54⁴（1-0.54）=0.196，
故至少换4只灯泡的概率为：p₄=0.046+0.196=0.242．
即满两年至少需要换4只灯泡的概率为0.242．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列，考查独立重复试验的概率，考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率，是一个综合题，题干比较长，需要认真读题来理解题意．