Question

（2013•泗阳县模拟）在直角△ABC中，两条直角边分别为a、b，斜边和斜边上的高分别为c、h，则

c+h

a+b

的取值范围是

（1，

3 2

4

]

．

Answer 1

分析：根据勾股定理和三角形面积公式，将

c+h

a+b

化为关于a、b的表达式，利用基本不等式可得

c+h

a+b

＞1．再设

ab

(a+b)2

=t，则可将

c+h

a+b

表示成关于t的函数f（t），研究f（t）的单调性得到在区间（0，

1

4

）上f（t）是增函数，从而得到f（t）的最大值是f（

1

4

）=

3 2

4

．由此即可得到

c+h

a+b

的取值范围．

解答：解：∵直角△ABC中，两条直角边分别为a、b，
∴斜边c=

a2+b2

，斜边上的高h=

ab

c

=

ab

a2+b2

，
因此，

c+h

a+b

=

a2+b2 + ab a2+b2

a+b

∵

a2+b2 + ab a2+b2

a+b

≥

2 a2+b2 × ab a2+b2

a+b

=

2 ab

a+b

，

2 ab

a+b

≥1
∴

a2+b2 + ab a2+b2

a+b

＞1（等号取不到），即

c+h

a+b

＞1
又

a2+b2 + ab a2+b2

a+b

=

a2+b2 (a+b)2

+

ab (a+b)2

•

ab

a2+b2

设

ab

(a+b)2

=t，则

a2+b2 (a+b)2

=

1-2t

，

ab (a+b)2

=

t 1-2t

可得f（t）=

1-2t

+

t

1-2t

，（0＜t≤

1

4

）
∵在区间（0，

1

4

）上f'（t）＞0，
∴f（t）在区间（0，

1

4

）上是增函数，可得当0＜t≤

1

4

时，f（t）的最大值为f（

1

4

）=

3 2

4

综上所述，

c+h

a+b

的取值范围是（1，

3 2

4

]
故答案为：（1，

3 2

4

]

点评：本题在直角三角形中，求斜边与斜边上高之和与两条直角边之和的比值范围．着重考查了勾股定理、基本不等式求最值和函数的单调性等知识，属于中档题．