Question

【题目】若在定义域内存在实数x0使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立则称函数f（x）有“溜点x0”
（1）若函数 在（0，1）上有“溜点”，求实数m的取值范围；
（2）若函数f（x）=lg（ ）在（0，1）上有“溜点”，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解： 在（0，1）上有“溜点”，

即f（x+1）=f（x）+f（1）在（0，1）上有解，

即 在（0，1）上有解，

整理得 在（0，1）上有解，

从而h（x）=4mx﹣1与 的图象在（0，1）上有交点，

故h（1）＞g（1），即 ，得

（2）解：由题已知a＞0，且 在（0，1）上有解，

整理得 ，又 ．

设 ，令t=2x+1，由x∈（0，1）则t∈（1，3）．

于是 则 ．

从而 ．

故实数a的取值范围是

【解析】（1） 在（0，1）上有“溜点”，利用定义，推出 在（0，1）上有解，转化h（x）=4mx﹣1与 的图象在（0，1）上有交点，然后求解即可．（2）推出a＞0， 在（0，1）上有解，设 ，令t=2x+1，由x∈（0，1）则t∈（1，3），利用基本不等式求解 ，得到实数a的取值范围．