Question

15．已知函数f（x）=|x-1|+|x-5|，g（x）=$\sqrt{1+{x}^{2}}$．
（1）求f（x）的最小值；
（2）记f（x）的最小值为m，已知实数a，b满足a²+b²=6，求证：g（a）+g（b）≤m．

Answer 1

分析 （1）化简f（x）的解析式，得出f（x）的单调性，利用单调性求出f（x）的最小值；
（2）计算[g（a）+g（b）]²，利用基本不等式即可得出结论．

解答 解：（1）f（x）=|x-1|+|x-5|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+6，x≤1}\\{4，1＜x＜5}\\{2x-6，x≥5}\end{array}\right.$，
∴f（x）在（-∞，1]上单调递减，在[5，+∞）上单调递增，
∵f（1）=4，f（5）=4，
∴f（x）的最小值为4．
（2）证明：由（1）可知m=4，
g（a）+g（b）=$\sqrt{1+{a}^{2}}$+$\sqrt{1+{b}^{2}}$，
∴[g（a）+g（b）]²=1+a²+1+b²+2$\sqrt{（1+{a}^{2}）（1+{b}^{2}）}$=8+2$\sqrt{（1+{a}^{2}）（1+{b}^{2}）}$，
∵$\sqrt{（1+{a}^{2}）（1+{b}^{2}）}$≤$\frac{1+{a}^{2}+1+{b}^{2}}{2}$=4，
∴[g（a）+g（b）]²≤16，
∴g（a）+g（b）≤4．

点评 本题考查了函数的单调性，分段函数的最值计算，基本不等式的应用，属于中档题．