Question

已知向量

a

=（sin2x，cos2x），

b

=（

1

2

，

3

2

），x∈R，且f（x）=

a

•

b

+|

a

|+|

b

|．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈[

π

6

，

2π

3

]，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）运用平面向量的数量积的坐标表示和向量的模的公式，结合两角和的正弦公式，以及正弦函数的增区间，解不等式即可得到所求区间；
（2）由x的范围，可得2x+

π

3

的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到最值．

解答： 解：（1）∵向量

a

=（sin2x，cos2x），

b

=（

1

2

，

3

2

），x∈R，
∴f（x）=

a

•

b

+|

a

|+|

b

|=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+1+1=sin（2x+

π

3

）+2，
∵2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
∴kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）；
（2）∵x∈[

π

6

，

2π

3

]，
∴2x∈[

π

3

，

4π

3

]∴2x+

π

3

∈[

2π

3

，

5π

3

]，
∴当2x+

π

3

=

2π

3

，即x=

π

6

时，f（x）有最大值，且为

3

2

+2；
当2x+

π

3

=

3π

2

，即x=

7π

12

时，f（x）有最小值，且为1．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示和性质，考查正弦函数的单调区间和值域，考查运算能力，属于中档题．