【题目】已知圆C:x2+y2+2x﹣4y+3=0.
(1)若直线l:x+y=0与圆C交于A,B两点,求弦AB的长;
(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值的点P的坐标.
【答案】(1)(2)P(
)
【解析】
(1)根据圆的弦长公式即可求出;
(2)因为|PM|=|PO|,所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值,根据几何知识可求出点P的运动轨迹为直线2x﹣4y+3=0,所以点到直线的距离最短,即求出|PM|取得最小值,再联立直线2x﹣4y+3=0和
,即可求出点P的坐标.
(1)圆C可化为(x+1)2+(y﹣2)2=2,则圆心C(﹣1,2),
所以C到直线l的距离d,
则弦长AB=2;
(2)因为切线PM与半径CM垂直,所以|PM|2=|PC|2﹣|CM|2,
又因为|PM|=|PO|,则|PO|2=|PC|2﹣|CM|2,即(x1+1)2+(y1﹣2)2﹣2=x12+y12,
整理得2x1﹣4y1+3=0,所以点P的运动轨迹为直线2x﹣4y+3=0,
所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值.
而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离d,
过点且垂直于直线2x﹣4y+3=0的方程为:
所以由,得
,
故所求点P的坐标为P().
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数,
),以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程是
.
(1)求直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)已知直线与曲线
交于
两点,且
,求实数
的值.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,M是椭圆C的上顶点,
,F2是椭圆C的焦点,
的周长是6.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)过动点P(1,t)作直线交椭圆C于A,B两点,且|PA|=|PB|,过P作直线l,使l与直线AB垂直,证明:直线l恒过定点,并求此定点的坐标.
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【题目】已知点Q是圆上的动点,点
,若线段QN的垂直平分线MQ于点P.
(I)求动点P的轨迹E的方程
(II)若A是轨迹E的左顶点,过点D(-3,8)的直线l与轨迹E交于B,C两点,求证:直线AB、AC的斜率之和为定值.
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【题目】已知常数,数列
的前
项和为
,
,
;
(1)求数列的通项公式;
(2)若,且
是单调递增数列,求实数
的取值范围;
(3)若,
,对于任意给定的正整数
,是否存在正整数
、
,使得
?若存在,求出
、
的值(只要写出一组即可);若不存在,请说明理由;
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【题目】某人设计一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在如图所示正方形(边长为2个单位)的顶点
处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走了几个单位,如果掷出的点数为
,则棋子就按逆时针方向行走
个单位,一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点
处的所有不同走法共有( )
A.21种B.22种C.25种D.27种
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【题目】某种大型医疗检查机器生产商,对一次性购买2台机器的客户,推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案:方案一:交纳延保金7000元,在延保的两年内可免费维修2次,超过2次每次收取维修费2000元;方案二:交纳延保金10000元,在延保的两年内可免费维修4次,超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器。现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案,为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数,得下表:
维修次数 | 0 | 1 | 2 | 3 |
台数 | 5 | 10 | 20 | 15 |
以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率,记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数。
(1)求X的分布列;
(2)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据,医院选择哪种延保方案更合算?
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【题目】某企业为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况,随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量(单位:毫克),质量值落在的产品为合格品,否则为不合格品.如表是甲流水线样本频数分布表,如图是乙流水线样本的频率分布直方图.
产品质量/毫克 | 频数 |
(165,175] | 3 |
(175,185] | 2 |
(185,195] | 21 |
(195,205] | 36 |
(205,215] | 24 |
(215,225] | 9 |
(225,235] | 5 |
(Ⅰ)根据乙流水线样本的频率分布直方图,求乙流水线样本质量的中位数(结果保留整数);
(Ⅱ)从甲流水线样本中质量在的产品中任取2件产品,求两件产品中恰有一件合格品的概率;
甲流水线 | 乙流水线 | 总计 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
总计 |
(Ⅲ)由以上统计数据完成下面2×2列联表,能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关?
下面临界值表仅供参考:
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式:,其中n=a+b+c+d.
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