Question

如图，已知菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，使BD=3

2

，得到三棱锥B-ACD．
（Ⅰ）若点M是棱BC的中点，求证：OM∥平面ABD；
（Ⅱ）求二面角A-BD-O的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用OM是△ABC的中位线，可得OM∥AB，利用线面平行的判定，可得OM∥平面ABD；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面ABD的法向量、平面BOD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角A-BD-O的余弦值．

解答：（Ⅰ）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，
所以O是AC的中点．又点M是棱BC的中点，
所以OM是△ABC的中位线，OM∥AB．…（2分）
因为OM?平面ABD，AB?平面ABD，
所以OM∥平面ABD．…（6分）
（Ⅱ）解：由题意，OB=OD=3，
因为BD=3

2

，所以∠BOD=90°，OB⊥OD．…（7分）
又因为菱形ABCD，所以OB⊥AC，OD⊥AC．
建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示.A(3

3

，0，0)， D(0，3，0)，B（0，0，3）．
所以

AB

=(-3

3

，0，3)， 

AD

=(-3

3

，3，0)，…（8分）
设平面ABD的法向量为

n

=（x，y，z），则有

AB •n=0 AD •n=0

即：

-3 3 x+3z=0 -3 3 x+3y=0

令x=1，则y=

3

，z=

3

，所以

n

=(1，

3

，

3

)．…（10分）
因为AC⊥OB，AC⊥OD，所以AC⊥平面BOD．
平面BOD的法向量与AC平行，所以平面BOD的法向量为

n0

=（1，0，0）．…（11分）
所以cos＜

n0

，

n

＞ = 

n0 • n

| n0 || n |

=

1

1× 7

=

7

7

，
因为二面角A-BD-O是锐角，
所以二面角A-BD-O的余弦值为

7

7

．…（12分）

点评：本题考查线面平行，考查面面角，解题的关键是掌握线面平行的判定方法，正确运用向量法解决空间角问题．