Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，右焦点为F（1，0）．
（1）求此椭圆的标准方程；
（2）若过点F且倾斜角为

π

4

 的直线与此椭圆相交于A、B两点，求|AB|的值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）运用离心率公式，由c=1，求得a，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（2）求出直线方程，联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，解得交点A，B，再由两点的距离公式，即可得到弦长．

解答： 解：（1）由于右焦点为F（1，0），则c=1，
离心率为

2

2

，则有e=

c

a

=

2

2

，即有a=

2

，
b²=a²-c²=2-1=1，
则椭圆的标准方程为：

x2

2

+y²=1；
（2）过点F且倾斜角为

π

4

的直线为：y=x-1，
联立椭圆方程，消去y，得3x²-4x=0，
解得，x=0或

4

3

，
则交点分别为A（0，-1），B（

4

3

，

1

3

）．
则|AB|=

( 4 3 -0)2+( 1 3 +1)2

=

4 2

3

．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，求交点和弦长，考查运算能力，属于基础题．