Question

函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象交y轴于点P，且函数图象在P点处的切线方程为12x-y-4=0，若函数f（x）在x=2处取得极值为0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）先求出函数f（x）与y轴交点P的坐标，然后求出导函数f′（x），根据题意可知f′（2）=0，f′（0）=12，f（2）=0，以及切点P在切线上建立方程组，解之即可求出函数的解析式；
（2）先求出导函数f′（x），然后令f′（x）＞0可求出函数f（x）的单调增区间．

解答：解：（1）函数f（x）与y轴交点P（0，d），
又f′（x）=3ax²+2bx+c，f′（2）=12a+4b+c=0，①
又函数f（x）在x=2处取得极值为0，所以f（2）=8a+4b+2c+d=0，②
又切线的斜率k=12，所以f′（0）=c=12，③
过P点的直线y-d=12（x-0）⇒12x-y+d=0  ④
解①，②，③，④得a=2，b=-9，c=12，d=-4
所以f（x）=2x³-9x²+12x-4
（2）f′（x）=6x²-18x+12＞0得x＞2或x＜1．
函数f（x）的单调增区间为（-∞，1），（2，+∞）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数在某点取得极值的条件，同时考查了方程组的求解，属于中档题．