Question

13．定义非零向量$\overrightarrow{OM}$=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx（x∈R），向量$\overrightarrow{OM}$=（a，b）称为函数f（x）=asinx+bcosx（x∈R）的“相伴向量”（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S
（1）设h（x）=$\sqrt{3}$cos（x+$\frac{π}{6}$）+3cos（$\frac{π}{3}$-x）（x∈R），请问函数h（x）是否存在相伴向量$\overrightarrow{OM}$，若存在，求出与$\overrightarrow{OM}$共线的单位向量；若不存在，请说明理由．
（2）已知点M（a，b）满足：$\frac{b}{a}∈（0，\sqrt{3}$]，向量$\overrightarrow{OM}$的“相伴函数”f（x）在x=x₀处取得最大值，求tan2x₀的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式可得f（x）=$\sqrt{3}$cos（x+$\frac{π}{6}$）+3sin（x+$\frac{π}{6}$），再根据新定义即可判断．
（2）由f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x+φ），可求得x₀=2kπ+$\frac{π}{2}$-φ，k∈Z时f（x）取得最大值，其中tanx₀=cotφ=$\frac{a}{b}$，再利用二倍角的正切可求得tan2x₀的范围

解答 解：（1）h（x）=$\sqrt{3}$cos（x+$\frac{π}{6}$）+3cos（$\frac{π}{3}$-x）=$\sqrt{3}$cos（x+$\frac{π}{6}$）+3cos[$\frac{π}{2}$-（x+$\frac{π}{6}$）]=$\sqrt{3}$cos（x+$\frac{π}{6}$）+3sin（x+$\frac{π}{6}$），
∴函数h（x）存在相伴向量$\overrightarrow{OM}$，且$\overrightarrow{OM}$=（3，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{OM}$共线的单位向量为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）
（2）$\overrightarrow{OM}$的相伴函数f（x）=asinx+bcosx=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x+φ），
其中cosφ=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，sinφ=$\frac{b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$
当x+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z即x₀=2kπ+$\frac{π}{2}$-φ，k∈Z时f（x）取得最大值，
∴tanx₀=tan（2kπ+$\frac{π}{2}$-φ）=cotφ=$\frac{a}{b}$，
∴tan2x₀=$\frac{2tan{x}_{0}}{1-ta{n}^{2}{x}_{0}}$=$\frac{2×\frac{a}{b}}{1-（\frac{a}{b}）^{2}}$=$\frac{2}{\frac{b}{a}-\frac{a}{b}}$．
令m=$\frac{b}{a}$，
则tan2x₀=$\frac{2}{m-\frac{1}{m}}$，m∈[0，$\sqrt{3}$]，
∴$\frac{1}{m}$≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴-$\frac{1}{m}$≤-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴m-$\frac{1}{m}$∈（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]，
∴tan2x₀∈（-∞，0）∪[$\sqrt{3}$，+∞）

点评 本题考查两角和与差的正弦函数，考查二倍角的正切与向量的模，考查综合分析与解不等式的能力，难度大，属于难题．