Question

设：P：方程x²+2mx+1=0有两个不相等的正根，Q：方程x²+2（m-2）x-3m+10=0无实根，求使P或Q为真，P且Q为假的实数m的取值范围．

Answer 1

解：若命题P：方程x²+2mx+1=0有两个不相等的正根为真，
则
解得m＜-1
若命题Q：方程x²+2（m-2）x-3m+10=0无实根为真，
则△=4（m-2）²+12m-40=4（m²-m-6）＜0
解得-2＜m＜3
∵P或Q为真，P且Q为假
∴命题P与命题Q必一真一假
若P真Q假，则m≤-2
若P假Q真，则-1≤m＜3
综上，实数m的取值范围为m≤-2，或-1≤m＜3
分析：根据一元二次方程根的个数与△的关系，及韦达定理，我们构造关于m的不等式组，解不等式组可以求出命题P为真时，实数m的取值范围，及命题Q为真时，实数m的取值范围，再由P或Q为真，P且Q为假，由复合命题真假判断的真值表，可判断出命题P与命题Q必一真一假，分别讨论P真Q假和P假Q真时，实数m的取值范围，最后综合讨论结果，即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题真假判断的真值表，一元二次方程根的个数及判断方法，其中根据一元二次方程根的个数与△的关系，及韦达定理，构造关于m的不等式（组），求出命题P与命题P为真时，实数m的取值范围，是解答本题的关键．