Question

设定义域为R的函数f（x）满足：对于任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且当x＞0时，f（x）＜0恒成立．
（1）判断f（x）的奇偶性及单调性，并对f（x）的奇偶性结论给出证明；
（2）若函数f（x）在[-3，3]上总有f（x）≤6成立，试确定f（1）应满足的条件；
（3）解x的不等式

1

n

f(x2)-f(x)＞

1

n

f(ax)-f(a)（n是一个给定的正整数，a∈R）．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，则可得f（0）=0；再令b=-x，即可证明f（x）是奇函数，设x₁＞x₂，由已知可得f（x₁-x₂）＜0，再利用f（x+y）=f（x）+f（y）及减函数的定义即可证明；
（2）由单调性可求出f（x）在[-3，3]上的最大值为f（-3），已知不等式可转化为f（-3）≤6，再由已知建立f（1）和f（-3）的联系即可；
（3）不等式

1

n

f(x2)-f(x)＞

1

n

f(ax)-f(a)，变形为f（x²）-f（ax）＞n[f（x）-f（a）]，利用已知恒等式可以变形为f（x²-ax）＞f[n（x-a）]，由（2）中的单调性转化为x²-ax＜n（x-a），按照二次不等式两根的大小进行分类讨论解不等式即可．

解答：解：（1）f（x）为奇函数，证明如下：
∵对于任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，
∴令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），即f（0）=0，
再令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x），
故f（x）为奇函数；
f（x）为R上的减函数，证明如下：
设x₁＞x₂，则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂），
∵当x＞0时，f（x）＜0恒成立，且x₁-x₂＞0，
∴f（x₁-x₂）＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在R上为单调递减函数；
（2）由（1）可知，f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，
∴f（x）在[-3，3]上的最大值为f（-3），
要使f（x）≤6恒成立，当且仅当f（-3）≤6，
又∵f（-3）=-f（3）=-f（2+1）=-[f（2）+f（1）]=-[f（1）+f（1）+f（1）]=-3f（1），
∴f（1）≥-2，
又x＞1时，f（x）＜0，
∴f（1）∈[-2，0）；
（3）不等式

1

n

f(x2)-f(x)＞

1

n

f(ax)-f(a)，
∴f（x²）-f（ax）＞n[f（x）-f（a）]，
∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（x²-ax）＞nf（x-a），
由已知可得，f[n（x-a）]=nf（x-a），
∴f（x²-ax）＞f[n（x-a）]，
∵f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，
∴x²-ax＜n（x-a），即（x-a）（x-n）＜0，
①当a＜n时，不等式的解集为{x|a＜x＜n}；
②当a=n时，不等式的解集∅；
③当a＞n时，不等式的解集为{x|n＜x＜a}．

点评：本题考查了抽象函数的性质，抽象函数求解不等式等．奇偶性的判断一般应用奇偶性的定义和图象，要注意先考虑函数的定义域是否关于原点对称然后判断f（-x）与f（x）之间的关系．函数单调性的证明一般选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．求解第（3）题的关键是综合运用函数的单调性去掉“f”，把抽象不等式化为具体不等式求解．