Question

【题目】定义：从数列{an}中抽取m（m∈N，m≥3）项按其在{an}中的次序排列形成一个新数列{bn}，则称{bn}为{an}的子数列；若{bn}成等差（或等比），则称{bn}为{an}的等差（或等比）子数列．

（1）记数列{an}的前n项和为Sn，已知．

①求数列{an}的通项公式；

②数列{an}是否存在等差子数列，若存在，求出等差子数列；若不存在，请说明理由．

（2）已知数列{an}的通项公式为an＝n+a（a∈Q+），证明：{an}存在等比子数列．

Answer 1

【答案】（1）①．②不存在等差子数列．见解析（2）见解析

【解析】

（1）①根据，当n＝1时，，当n≥2时，得到，两式相减即可.②假设从数列{an}中抽3项ak，al，am（k＜l＜m）成等差，利用等差中项则2al＝ak+am，即2×2l﹣1＝2k﹣1+2m﹣1，

化简得：2×2l﹣k＝1+2m﹣k．再利用奇偶数判断.如果从数列{an}中抽m（m∈N，m≥4）项，其前三项必成等差数列，不成立得证.

（2）假设数列{an}中存在3项n0+a，n0+a+k，n0+a+l（k＜l）成等比．设n0+a＝b，则b∈Q+，故可设（p与q是互质的正整数）．根据等比中项，有，即．取k＝q，则l＝2k+pq．再论证（b+k）2=b（b+l）是否成立即可.

（1）①因为，所以当n＝1时，，

当n≥2时，，所以．

综上可知：．

②假设从数列{an}中抽3项ak，al，am（k＜l＜m）成等差，

则2al＝ak+am，即2×2l﹣1＝2k﹣1+2m﹣1，

化简得：2×2l﹣k＝1+2m﹣k．

因为k＜l＜m，所以l﹣k＞0，m﹣k＞0，且l﹣k，m﹣k都是整数，

所以2×2l﹣k为偶数，1+2m﹣k为奇数，所以2×2l﹣k＝1+2m﹣k不成立．

因此，数列{an}不存在三项等差子数列．

若从数列{an}中抽m（m∈N，m≥4）项，其前三项必成等差数列，不成立．

综上可知，数列{an}不存在等差子数列．

（2）假设数列{an}中存在3项n0+a，n0+a+k，n0+a+l（k＜l）成等比．

设n0+a＝b，则b∈Q+，故可设（p与q是互质的正整数）．

则需满足，

即需满足（b+k）2＝b（b+l），则需满足．

取k＝q，则l＝2k+pq．

此时，．

故此时（b+k）2＝b（b+l）成立．

因此数列{an}中存在3项n0+a，n0+a+k，n0+a+l（k＜l）成等比，

所以数列{an}存在等比子数列．