Question

在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且

3

a-2csinA=0．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若c=

7

，且△ABC的面积为

3 3

2

，求a+b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，根据sinA不为0求出sinC的值，由C为锐角，利用特殊叫哦的三角函数值即可求出角C的大小；
（Ⅱ）利用三角形面积公式列出关系式，将sinC与已知面积代入求出ab的值，再利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，把c与cosC，以及ab的值代入求出a+b的值即可．

解答：解：（Ⅰ）已知等式

3

a-2csinA=0利用正弦定理化简得：

3

sinA-2sinCsinA=0，
∵sinA≠0，∴sinC=

3

2

，
∵C为锐角，∴C=

π

3

；
（Ⅱ）∵sinC=

3

2

，△ABC的面积为

3 3

2

，
∴由面积公式得：

1

2

absinC=

3

4

ab=

3 3

2

，即ab=6，
∵c=

7

，cosC=

1

2

，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，即7=（a+b）²-18，
∴（a+b）²=25，
则a+b=5．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，完全平方公式的运用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．