Question

已知定义在R上的函数F（x）满足F（x+y）=F（x）+F（y），且当x＞0时，F（x）＜0，若对任意x∈[0，1]，不等式组

F(2kx-x2)＜F(k-4) F(x2-kx)＜F(k-3)

恒成立，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意可判断函数F（x）在R上为减函数；从而化简为

2kx-x2＞k-4 x2-kx＞k-3

对x∈[0，1]成立，从而由二次函数的图象判断即可．

解答： 解：设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
则F（x₂-x₁）＜0；
则F（x₂）=F（x₂-x₁）+F（x₁）＜F（x₁），
则函数F（x）在R上为减函数；
则对任意x∈[0，1]，不等式组

F(2kx-x2)＜F(k-4) F(x2-kx)＜F(k-3)

恒成立可化为

2kx-x2＞k-4 x2-kx＞k-3

对x∈[0，1]成立，
依题有

f(x)=x2-2kx+k-4＜0 g(x)=x2-kx-k+3＞0

对x∈[0，1]成立，
由于f（x）＜0对x∈[0，1]成立，
则

f(0)=k-4＜0 f(1)=-k-3＜0

，
解得，-3＜k＜4；
由于g（x）＞0对x∈[0，1]成立，
∴k＜

x2+3

x+1

=（x+1）+

4

x+1

-2恒成立；
∴k＜2；
综上所述，-3＜k＜2．
故答案为：（-3，2）．

点评：本题考查了抽象函数的单调性的判断及数形结合的思想应用，同时考查了恒成立问题，属于中档题．