Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E是正方形BCC₁B₁的中心，点F．G分别是棱C₁D₁，AA₁的中点．设点E₁，G₁分别是点E，G在平面DCC₁D₁内的正投影．
（1）证明：直线FG₁⊥平面FEE₁；
（2）求异面直线E₁G₁与EA所成角的正弦值．
（3）求四面体FGAE的体积．

Answer 1

解：（1）证明：以D为坐标原点，DA．DC．DD₁所在直线
分别作x轴，Y轴，Z轴，得E₁（0，2，1），G₁（0，0，1），又G（2，0，1），F（0，1，2），E（1，2，1），则=（0，-1，-1），=（1，1，-1），=（0，1，-1），┉┉（2分）
∴•=0+（-1）+1=0，
•=0+（-1）+1=0，即FG₁⊥FE，FG₁⊥FE₁，
又FE₁∩FE=F，∴直线FG₁⊥平面FEE₁（4分）
（2）=（0，-2，0），=（1，-2，-1），┉┉（5分）
则==，┉┉（7分）
设异面直线E₁G₁与EA所成角为θ，则sinθ==．┉┉（8分）
（3）∵A．G．A₁，F共面，且G是AA₁的中点，
∴V_E-AGF=V_E-A1GF．┉┉（10分）
取B₁C₁．的中点为M，所以EM∥A₁G，∴EM∥平面A₁GF，
∴V_E-AGF=V_E-A1GF=V_M-A1GF=V_G-A1MF==┉┉（14分）
分析：（1）以D为坐标原点，DA．DC．DD₁所在直线，分别作x轴，Y轴，Z轴，分别出各顶点的坐标，及直线FG₁的方向向量和平面FEE₁的法向量，然后判断两个向量是否共线，即可得到直线FG₁⊥平面FEE₁是否成立；
（2）分别求出异面直线E₁G₁与EA的方向向量，然后代入向量夹角公式，即可得到异面直线E₁G₁与EA所成角的正弦值．
（3）根据棱锥的几何特征及已知条件，我们可以得到V_E-AGF=V_E-A1GF=V_M-A1GF=V_M-A1GF，求出四面体的底面积和高，代入棱锥体积公式，即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，异面直线豚其所成的角，建立空间坐标系，将线面关系的判定，及线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．