Question

已知奇函数f（x）=

x+b

x2+a

的定义域为R，f（1）=

1

2

．
（1）求实数a，b的值；
（2）证明函数f（x）在区间（-1，1）上为增函数；
（3）若g（x）=3^-x-f（x），证明函数g（x）在（-1，1）上有零点．

Answer 1

分析：（1）由于奇函数f（x）=

x+b

x2+a

的定义域为R，故有f（0）=0，再由f（1）=

1

2

，可得实数a、b的值．
（2）由（1）可得f（x）=

x

x2+1

，设-1＜x₁＜x₂＜1，计算f（x₂）-f（x₁）＜0．可得函数f（x）在区间（-1，1）上为增函数．
（3）由于函数g（x）=3^-x-f（x）=3^-x-

x

x2+1

，求得g（-1）g（1）=-

7

12

＜0，可得函数 g（x）在（-1，1）上有零点．

解答：解：（1）由于奇函数f（x）=

x+b

x2+a

的定义域为R，故有f（0）=0，再由f（1）=

1

2

，可得实数a=1，b=0．
（2）由（1）可得f（x）=

x

x2+1

，设-1＜x₁＜x₂＜1，则可得f（x₂）-f（x₁）=

x2

x22+1

-

x1

x12+1

=

(x2-x1)(1-x1•x2)

(x22+1)(x12+1)

．
由题设可得 x₂-x₁＞0，1-x₁•x₂＞0，∴

(x2-x1)(1-x1•x2)

(x22+1)(x12+1)

＞0，f（x₂）-f（x₁）＞0，故函数f（x）在区间（-1，1）上为增函数．
（3）由于函数g（x）=3^-x-f（x）=3^-x-

x

x2+1

，g（-1）g（1）=（3+

1

2

）（

1

3

-

1

2

）=-

7

12

＜0，
可得函数 g（x）在（-1，1）上有零点．

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．