Question

已知直线l：y=mx+4，圆C：x²+y²=4．
（1）若直线l与圆C相切，求实数m的值和直线l的方程；
（2）若直线l与圆C相离，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：方法一：求出圆心到直线的距离，（1）直线l与圆C相切，则d=r；（2）直线l与圆C相离，则d＞r，利用点到直线的距离公式，可求相应的值；
方法二：把直线l：y=mx+4方程代入圆C：x²+y²=4，可得一元二次方程，（1）若直线l与圆C相切，则△=0；（2）若直线l与圆C相离，则△＜0，可求相应的值．

解答：解：（方法一）直线l方程为mx-y+4=0，到圆心C（0，0）的距离d=

|4|

m2+1

．
又圆C的半径r=2．…（3分）
（1）若直线l与圆C相切，则d=r，即

|4|

m2+1

=2．…（5分）
解得m²=3，所以m=±

3

．…（7分）
所以直线l方程为

3

x-y+4=0或

3

x+y-4=0．…（8分）
（2）若直线l与圆C相离，则d＞r，即

|4|

m2+1

＞2．…（10分）
解得m²＜3，所以-

3

＜m＜

3

，即m的取值范围是(-

3

，

3

)．…（12分）
（方法二）把直线l：y=mx+4方程代入圆C：x²+y²=4，得（m²+1）x²+8mx+12=0，…（3分）
其判别式△=（8m）²-4×12×（m²+1）．…（5分）
（1）若直线l与圆C相切，则△=0，解得m²=3，所以m=±

3

．…（7分）
所以直线l方程为

3

x-y+4=0或

3

x+y-4=0．…（8分）
（2）若直线l与圆C相离，则△＜0．…（10分）
解得m²＜3，所以-

3

＜m＜

3

，即m的取值范围是(-

3

，

3

)．…（12分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查代数法语几何法是运用，考查学生的计算能力，属于中档题．