Question

10．函敦y=f（x）=sin2x+$\sqrt{2}acos$（x+$\frac{π}{4}$）（x∈R），令t=sinx-cosx．
（1）把函数f（x）表示为关于t的函数g（t），求g（t）表达式和定义域；
（2）求y=f（x）的最大值h（a）；
（3）解方程h（a）=h（$\frac{a}{a-3}$）．

Answer 1

分析 （1）结合二倍角公式，同角三角函数的基本关系公式，两角和的余弦公式，可得g（t）=t²-1+at，进而由sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）得t的取值范围，及函数的定义域；
（2）结合二次函数的图象和性质，分类讨论可得y=f（x）的最大值h（a）；
（3）分类求解方程h（a）=h（$\frac{a}{a-3}$），最后综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（1）y=f（x）=sin2x+$\sqrt{2}acos$（x+$\frac{π}{4}$）=2sinxcosx+a（cosx-sinx）=（cosx-sinx）²-1+a（cosx-sinx），
当t=sinx-cosx时，y=t²-1+at，
即g（t）=t²-1+at，
由sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）得：t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]；
（2）由（1）得：y=t²-1+at，t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]；
当a≤0时，当t=-$\sqrt{2}$时，函数取最大值，此时h（a）=1-$\sqrt{2}$a；
当a＞0时，当t=$\sqrt{2}$时，函数取最大值，此时h（a）=1+$\sqrt{2}$a；
综上所述，h（a）=$\left\{\begin{array}{l}1-\sqrt{2}a，a≤0\\ 1+\sqrt{2}a，a＞0\end{array}\right.$，
（3）当a≤0时，$\frac{a}{a-3}$≥0，此时h（a）=h（$\frac{a}{a-3}$）可化为：1-$\sqrt{2}$a=1+$\sqrt{2}$（$\frac{a}{a-3}$），解得：a=0，或a=2（舍去）；
当0＜a＜3时，$\frac{a}{a-3}$＜0，此时h（a）=h（$\frac{a}{a-3}$）可化为：1+$\sqrt{2}$a=1-$\sqrt{2}$（$\frac{a}{a-3}$），解得：a=0（舍去），或a=2（舍去）；
当a＞3时，$\frac{a}{a-3}$＞0，此时h（a）=h（$\frac{a}{a-3}$）可化为：1+$\sqrt{2}$a=1+$\sqrt{2}$（$\frac{a}{a-3}$），解得：a=0（舍去），或a=4；
综上所述，原方程的解为a=0，或a=4．

点评 本题考查的知识点是正弦函数的图象和性质，熟练掌握正弦函数的图象和性质，是解答的关键．