Question

已知命题p：“函数f（x）=ax²-4x（a∈R）在（-∞，2]上单调递减”，命题q：“?x∈R，16x²-16（a-1）x+1≠0”，若命题“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：若命题“p且q”为真命题，则命题“p”和“q”均为真命题．命题p为二次型函数的单调性，分a=0，a＞0，a＜0三类结合二次函数的图象求出a的范围；命题q：“?x∈R，16x²-16（a-1）x+1≠0”，即方程16x²-16（a-1）x+1=0无解，故△＜0，解出A的范围，求交集即可．

解答：解：P为真：①当a＜0不符合题意；
②当a=0时，f（x）=-4x在（-∞，2]上单调递减，故a=0成立；
③当a＞0时，只需对称轴x=-

-4

2a

=

2

a

5在区间（-∞，2]6的右侧，即

2

a

≥2
∴0＜a≤1
综合①②③：a∈[0，1]
q为真：命题等价于：方程16x²-16（a-1）x+1=0无实根．
△=[16（a-1）]²-4×16＜0
∴

1

2

＜a＜

3

2

∵命题“p且q”为真命题
∴

0≤a≤1 1 2 ＜a＜ 3 2

∴

1

2

＜a≤1．

点评：本题考查复合命题真假判断、二次函数的单调性、二次方程的解得问题，同时考查分类讨论思想．