Question

已知函数f（x）=x²-2x-2
（Ⅰ）用定义法证明：函数f（x）在区间（-∞，1]上是减函数；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-mx是偶函数，求m的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）设-∞＜x₁＜x₂≤1，…（2分）
所以，f（x₁）-f（x₂）=（-2x₁-2）-（-2x₂-2）=（x₁-x₂ ）（x₁+x₂-2），…（4分）
因为-∞＜x₁＜x₂，所以，x₁-x₂＜0，x₁+x₂-2＜0，
所以，f（x₁）-f（x₂）＞0，…（6分）
所以，f（x₁）＞f（x₂），
所以函数f（x）在区间（-∞，1]上是减函数．…（8分）
（Ⅱ）因为函数g（x）=f（x）-mx=x²-（2+m）x-2，…（10分）
又因为g（x）是偶函数，2+m=0，
∴m=-2． …（12分）
分析：（Ⅰ）设-∞＜x₁＜x₂≤1，计算 f（x₁）-f（x₂）的结果等于（x₁-x₂ ）（x₁+x₂-2），可得f（x₁）＞f（x₂），从而判断函数f（x）在区间（-∞，1]上是减函数．
（Ⅱ）因为函数g（x）=f（x）-mx=x²-（2+m）x-2，g（x）是偶函数，从而得到2+m=0，由此求得m的值．
点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断及证明，属于中档题．