Question

（2011•许昌一模）给出下列四个命题：
P₁：对?a∈R，都有函数f（x）=x²+

2a

x

在（0，+∞）上是增函数；
P₂：?a∈R，使得函数f（x）=x²+

2a

x

在（0，+∞）上有最小值3

3	a2

；
P₃：对?x∈R，都有sin

x

2

=

1+cosx 2

成立，P₄：?x，y∈R，使得
sin（x+y）=sinx+siny成立，其中是真命题的为（　　）

A．P₂，P₄

B．P₂，P₃

C．P₁，P₄

D．P₁，P₃

E．P₂，P₄

   

Answer 1

分析：逐一判断即可．

解答：A f′（x）=2x-

2a

x2

，取a=1，则f′（x）=2x-

2

x2

=

2(x3-1)

x2

当x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减．
B 当a＞0时，f（x）═x²+

a

x

+

a

x

≥3

3	x2× a x × a x

=3

3	a2

；正确
P₃：取x=-

π

4

，判断为假
P₄：取x=y=0，判断为真．
综上所述，是真命题的为 P₂，P₄

故选A

点评：本题考查命题真假，正确的要加以论证，错误的可举反例