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【题目】已知正项数列{an}的前n项和为Sn , 且4Sn=(an+1)2(n∈N+). (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设Tn为数列{ }的前n项和,证明: ≤Tn<1(n∈N+).

【答案】解:(Ⅰ)当n=1时,4a1=(a1+1)2 , 解得:a1=1, 当n≥2时,4Sn1=(an1+1)2 , 4Sn=(an+1)2
两式相减得:(an+an1)(an﹣an1﹣2)=0,
∵an>0,
∴an﹣an1=2,
∴数列{an}是以2为公差,以1为首项的等差数列,
∴an=2n﹣1;
证明:(Ⅱ) = =
∴Tn=(1﹣ )+( )+( )+…+( ),
=1﹣
∴Tn<1,
>0,
∴Tn≥T1=
≤Tn<1(n∈N+
【解析】(Ⅰ)当n=1时,即可求得a1=1,当n≥2时,4Sn1=(an1+1)2 , 4Sn=(an+1)2 , 两式相减可得:(an+an1)(an﹣an1﹣2)=0,可知:an﹣an1=2,数列{an}是以2为公差,以1为首项的等差数列,即可求得数列{an}的通项公式;(Ⅱ) = ,根据“裂项法”即可求得Tn=1﹣ ,Tn<1,由Tn≥T1= .即可证明 ≤Tn<1(n∈N+).
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识,掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系,以及对数列的通项公式的理解,了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.

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