Question

3．已知函数f（x）=2alnx-$\frac{1}{2}$ax²+2x，实数a≠0．
（1）若f（x）在区间（1，3）上存在单调递减区间，求实数a的取值范围；
（2）函数f（x）的图象是否存在不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使f（x）在点M（x₀，f（x₀））处的切线l满足l∥AB（其中x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）？若存在，求出A，B的坐标；否则，说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，由题意可得$\frac{2a}{x}$-ax+2≤0在（1，3）成立，即a（x-$\frac{2}{x}$）≥2，对a讨论，a=0，a＜0，a＞0，运用参数分离，求出单调性，解不等式即可得到所求a的范围；
（2）假设存在不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使f（x）在点M（x₀，f（x₀））处的切线l满足l∥AB．运用两点的斜率公式和切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，化简整理，设t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，则t＞1，上式化为lnt=$\frac{2（t-1）}{t+1}$，构造函数g（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，求得导数判断单调性，即可判断不存在．

解答 解：（1）函数f（x）=2alnx-$\frac{1}{2}$ax²+2x的导数为f′（x）=$\frac{2a}{x}$-ax+2，
f（x）在区间（1，3）上存在单调递减区间，
即为$\frac{2a}{x}$-ax+2≤0在（1，3）成立，即a（x-$\frac{2}{x}$）≥2，
若a=0，即有0≥2不成立；若a＞0，即有$\frac{2}{a}$≤x-$\frac{2}{x}$，
由x-$\frac{2}{x}$在（1，3）递增，-1＜x-$\frac{2}{x}$＜$\frac{7}{3}$，可得$\frac{2}{a}$≤$\frac{7}{3}$，即a≥$\frac{6}{7}$；
若a＜0，即有$\frac{2}{a}$≥x-$\frac{2}{x}$，
由x-$\frac{2}{x}$在（1，3）递增，-1＜x-$\frac{2}{x}$＜$\frac{7}{3}$，可得$\frac{2}{a}$≥-1，即a≥-2．
综上可得a的范围是[-2，0）∪[$\frac{6}{7}$，+∞）；
（2）假设存在不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
使f（x）在点M（x₀，f（x₀））处的切线l满足l∥AB．
M（x₀，y₀）是曲线y=f（x）上的不同点，
且0＜x₁＜x₂，x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，
则直线AB的斜率：k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{2aln{x}_{2}-\frac{1}{2}a{{x}_{2}}^{2}+2{x}_{2}-（2aln{x}_{1}-\frac{1}{2}a{{x}_{1}}^{2}+2{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$
=$\frac{2a（ln{x}_{2}-ln{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$-$\frac{1}{2}$a（x₂+x₁）+2，
曲线在点M（x₀，y₀）处的切线斜率：k=f′（x₀）=f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{4a}{{x}_{1}+{x}_{2}}$-$\frac{1}{2}$a（x₁+x₂）+2，
依题意：k_AB=k，即$\frac{2a（ln{x}_{2}-ln{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$-$\frac{1}{2}$a（x₂+x₁）+2=$\frac{4a}{{x}_{1}+{x}_{2}}$-$\frac{1}{2}$a（x₁+x₂）+2，
化简得$\frac{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
即ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$，
设t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，则t＞1，上式化为lnt=$\frac{2（t-1）}{t+1}$，①
由g（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，g′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{4}{（t+1）^{2}}$=$\frac{（t-1）^{2}}{t（t+1）^{2}}$＞0，
t＞1时，g（t）＞g（1）=0，
则lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$，即有方程①无解．
故f（x）的图象上不存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
使f（x）在点M（x₀，f（x₀））处的切线l满足l∥AB．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间，考查存在性问题的解法，注意运用两点的斜率公式和切线的斜率，构造函数，运用导数判断单调性，考查运算能力，属于中档题．