Question

如图，已知A（-3，0），B、C两点分别在y轴和x轴上运动，并且满足

AB

•

BQ

=0，

BC

=

1

2

CQ

．
（1）求动点Q的轨迹方程；
（2）设过点A的直线与Q的轨迹交于E、F两点，A′（3，0），求直线A′E、A′F的斜率之和．

Answer 1

分析：（1）设点B、C、Q的坐标，得到所用向量的坐标，联立

AB

•

BQ

=0，

BC

=

1

2

CQ

，消掉参数得答案；
（2）直接设出过点A的直线方程，和抛物线方程联立后消去y，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到E，F的横坐标的和与积，由两点式求出直线A′E、A′F的斜率，整理后代入根与系数关系得答案．

解答：解：（1）设点B、C、Q的坐标分别为（0，b）、（c，0）、（x，y），
则

AB

=(3，b)，

BC

=(c，-b)，

CQ

=(x-c，y)，

BQ

=(x，y-b)．
由

AB

•

BQ

=0，

BC

=

1

2

CQ

．
得

3x+b(y-b)=0 -b= 1 2 y

，消去b得：y²=4x；
（2）设过过点A的直线方程为：y=k（x+3），
联立

y=k(x+3) y2=4x

，消去y得：k²x²+（6k²-4）x+9k²=0．
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
则x1+x2=

4-6k2

k2

，x1x2=9．
∴kA′E+kA′F=

y1

x1-3

+

y2

x2-3

=

y1(x2-3)+y2(x1-3)

(x1-3)(x2-3)

=

k(x1+3)(x2-3)+k(x2+3)(x1-3)

x1x2-3(x1+x2)+9

=

2k(x1x2-9)

x1x2-3(x1+x2)-9

=

2k(9-9)

x1x2-3(x1+x2)-9

=0．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了平面向量的数量积运算，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，训练了“设而不求”的解题思想方法，是中高档题．