Question

【题目】如图1，菱形ABCD的边长为12，∠BAD=60°，AC与BD交于O点．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM=6 ．
（I）求证：平面ODM⊥平面ABC；
（II）求二面角M﹣AD﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵ABCD是菱形，

∴AD=DC，OD⊥AC，

△ADC中，AD=DC=12，∠ADC=120°，

∴OD=6，

又M是BC中点，∴ ，

∵OD2+OM2=MD2，∴DO⊥OM，

∵OM，AC面ABC，OM∩AC=O，

∴OD⊥面ABC，

又∵OD平面ODM，∴平面ODM⊥平面ABC．…

（Ⅱ）解：由题意，OD⊥OC，OB⊥OC，

又由（Ⅰ）知OB⊥OD，建立如图所示空间直角坐标系，

由条件知：

故 ，

设平面MAD的法向量 ，

则 ，即 ，令 ，则x=3，z=9

∴

由条件知OB⊥平面ACD，故取平面ACD的法向量为

所以，

由图知二面角M﹣AD﹣C为锐二面角，

故二面角M﹣AD﹣C的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）推导出OD⊥AC，DO⊥OM，从而OD⊥面ABC，由此能证明平面ODM⊥平面ABC．（Ⅱ）由OD⊥OC，OB⊥OC，OB⊥OD，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣AD﹣C的余弦值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平面与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．