Question

给出下列命题：以下命题正确的是

 

 （注：把你认为正确的命题的序号都填上）
①非零向量

a

、

b

满足|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，则

a

与

a

+

b

的夹角为30°；
②

a

•

b

＞0，是

a

、

b

的夹角为锐角的充要条件；
③命题“若m²+n²=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m²+n²≠0，则m≠0或n≠0”；
④若（

AB

+

AC

）•(

AB

-

AC

)=0，则△ABC为等腰三角形．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：根据向量加减法的平行四边形法则及菱形的性质可判断①，根据向量数量积的定义，及充要条件的定义，可判断②；根据否命题的定义，可判断③；根据向量数量积运算法则及向量模的定义，可判断④

解答： 解：①非零向量

a

、

b

满足|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，则以

a

，

b

为邻边的平行四边形为菱形，且

a

，

b

的夹角为60°，根据菱形的对角线平分对角，可得

a

与

a

+

b

的夹角为30°，故①正确；
②

a

•

b

＞0，

a

、

b

的夹角为锐角或0，故

a

•

b

＞0，是

a

、

b

的夹角为锐角的必要不充分条件，故②错误；
③命题“若m²+n²=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m²+n²≠0，则m≠0或n≠0”，故③正确；
④若（

AB

+

AC

）•(

AB

-

AC

)=

AB

2-

AC

2=|

AB

|2-|

AC

|2=0，即|

AB

| =|

AC

| ，即AB=AC，则△ABC为等腰三角形，故④正确．
故答案为：①③④

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了向量加减法的平行四边形法则及菱形的性质，向量数量积的定义，充要条件的定义，否命题的定义，向量数量积运算法则及向量模的定义，是向量与逻辑的综合应用，难度中档．