Question

15．已知$2\overrightarrow a+\overrightarrow b=（3\;，\;3）\;，\;\;\overrightarrow a-\overrightarrow b=（3\;，\;0）$．
求（1）$\overrightarrow b$的单位向量$\overrightarrow{b_0}$；
（2）$\overrightarrow a\;在\;\overrightarrow b$方向上的投影．

Answer 1

分析 （1）根据向量的坐标运算，求出$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，再根据单位向量的定义即可求出，
（2）根据向量投影的定义即可求出．

解答 解：（1）∵$2\overrightarrow a+\overrightarrow b=（3\;，\;3）\;，\;\;\overrightarrow a-\overrightarrow b=（3\;，\;0）$．
∴3$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（6，3），
∴$\overrightarrow{a}$=（2，1），
∴$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$-（3，0）=（2，1）-（3，0）=（-1，1），
∴|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，
∴$\overrightarrow b$的单位向量$\overrightarrow{b_0}$=$\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
（2）∵$\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}$=2×（-1）+1×1=-1，
∴$\overrightarrow a\;在\;\overrightarrow b$方向上的投影为$\frac{\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=-$\frac{1}{\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$

点评 本题考查了向量的坐标运算和向量的投影，属于基础题．