Question

4．在三棱锥A-BCD中，AB=$\sqrt{6}$，其余各棱长都为2，则该三棱锥外接球的表面积为（　　）

• A． 3π
• B． $\frac{16}{3}$π
• C． 6π
• D． $\frac{20}{3}$π

Answer 1

分析 由题意画出几何体的图形，推出四面体的外接球的球心的位置，求出球的半径，即可求出三棱锥外接球的表面积．

解答 解：取 A B，CD的中点分别为 E，O，
连接 EO，AO，BO，由题意知AO=BO=$\sqrt{3}$．
又${A}{B}=\sqrt{6}$，所以 AO⊥BO，EO=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
易知三棱锥外接球的球心G在线段EO上，
有R²=AE²+GE²，R²=CO²+GO²，
∴R²=（$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²+GE²，R²=1²+（$\frac{\sqrt{6}}{2}$-GE）²，
求得${R^2}=\frac{5}{3}$，
所以其表面积为$\frac{20}{3}π$．
故选：D．

点评 考查四棱锥的外接球的半径的求法，考查空间想象能力，能够判断球心的位置是本题解答的关键，考查计算能力，转化思想．