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18.求函数y=2asinx-cos2x+a2+2的最大值M(x)和最小值m(x).

分析 化简函数的解析式为y═(sinx+a)2+1,再利用二次函数的性质,分类讨论求得函数的最大值M(x)和最小值m(x).

解答 解:函数y=2asinx-cos2x+a2+2=2asinx-(1-sin2x)+a2+2=sin2x+2asinx+a2+1
=(sinx+a)2+1,
当-a<-1,即a>1时,函数的最大值M(x)=(a+1)2+1,最小值m(x)=(a-1)2+1.
当-a>1,即a<-1时,函数的最大值M(x)=(a-1)2+1,最小值m(x)=(a+1)2+1.
当-a∈[-1,0)时,即 a∈(0,1]时,函数的最大值M(x)=(a+1)2+1,最小值m(x)=1.
当-a∈[0,1]时,即 a∈[-1,0]时,函数的最大值M(x)=(a-1)2+1,最小值m(x)=1.

点评 本题主要考查正弦函数的值域,二次函数的性质应用,属于中档题.

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