Question

已知A，B 分别为曲线C：（y≥0，a>0）与x轴的左、右两个交点，直线l过点B，且与x轴垂直，S为l上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T。

（1）若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标；
（2）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a，使得O，M，S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）当曲线C为半圆时，a=1，由点T为圆弧的三等分点得∠BOT=60°或120°
（i）当∠BOT=60°时，∠SAE=30°
又AB=2
故在△SAE中，有
∴。
（ii）当∠BOT=120°时，同理可求得点S的坐标为，
综上，或。
（2）假设存在，使得O，M，S三点共线
由于点M在以SB为直线的圆上，故
显然，直线AS的斜率k存在且k>0，可设直线AS的方程为
由得
设点
∴
故，
从而
亦即
∵
∴
由得，
∴
由，可得
即
∵
∴
经检验，当时，O，M，S三点共线
故存在，使得O，M，S三点共线。