Question

17．已知函数f（x）=-x³+x²+b，g（x）=alnx
（1）若f（x）的极大值为$\frac{4}{27}$，求实数b的值；
（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数求得函数f（x）的最大值，令其为$\frac{4}{27}$即可解得b的值即可；
（2）由g（x）≥-x²+（a+2）x分离出参数a后，转化为求函数最值，利用导数可求最值．

解答 解：（1）由f（x）=-x³+x²+b，得f′（x）=-x（3x-2），
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{2}{3}$，令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{2}{3}$或x＜0，
故f（x）在（-∞，0）递减，在（0，$\frac{2}{3}$）递增，在（$\frac{2}{3}$，+∞）递减，
∴f（x）_极大值=f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{4}{27}$+b=$\frac{4}{27}$，故b=0；
（2）由g（x）≥-x²+（a+2）x，得（x-lnx）a≤x²-2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，
∴lnx＜x，即x-lnx＞0，
∴a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$恒成立，
即a≤（ $\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$）_min．     
令t（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，x∈[1，e]，
求导得，t′（x）=$\frac{（x-1）（x+2-lnx）}{{（x-lnx）}^{2}}$，
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-lnx＞0，从而t′（x）≥0，
∴t（x）在[1，e]上为增函数，t_min（x）=t（1）=-1，
∴a≤-1．

点评 该题考查利用导数研究函数的最值、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．