Question

（2013•徐州一模）已知函数f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）单调增区间；
（3）若存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求函数的导函数f′（x），再求所求切线的斜率即f′（0），由于切点为（0，0），故由点斜式即可得所求切线的方程；
（2）先求原函数的导数得：f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，再对a进行讨论，得到f'（x）＞0，从而函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（3）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e-1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（-1），最小值f（0）=1，由f（1）-f（-1）的单调性，判断f（1）与f（-1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e-1求出a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=a^x+x²-xlna，
∴f′（x）=a^xlna+2x-lna，
∴f′（0）=0，f（0）=1
即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，
∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（3分）
（2）由于f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna＞0
①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（a^x-1）lna单调递增，故y=2x+（a^x-1）lna单调递增，
∴2x+（a^x-1）lna＞2×0+（a⁰-1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（a^x-1）lna单调递增，故y=2x+（a^x-1）lna单调递增，
∴2x+（a^x-1）lna＞2×0+（a⁰-1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（8分）
（3）因为存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，
所以当x∈[-1，1]时，|（f（x））_max-（f（x））_min|
=（f（x））_max-（f（x））_min≥e-1，（12分）
由（2）知，f（x）在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，
所以当x∈[-1，1]时，（f（x））_min=f（0）=1，
（f（x））_max=max{f（-1），f（1）}，
而f（1）-f（-1）=（a+1-lna）-（

1

a

+1+lna）=a-

1

a

-2lna，
记g（t）=t-

1

t

-2lnt（t＞0），
因为g′（t）=1+

1

t2

-

2

t

=（

1

t

-1）²≥0（当t=1时取等号），
所以g（t）=t-

1

t

-2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，
所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，
也就是当a＞1时，f（1）＞f（-1）；
当0＜a＜1时，f（1）＜f（-1）（14分）
①当a＞1时，由f（1）-f（0）≥e-1⇒a-lna≥e-1⇒a≥e，
②当0＜a＜1时，由f（-1）-f（0）≥e-1⇒

1

a

+lna≥e-1⇒0＜a≤

1

e

，
综上知，所求a的取值范围为a∈（0，

1

e

]∪[e，+∞）．（16分）

点评：本题考查了基本函数导数公式，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值．属于中档题．