已知直三棱柱的三视图如图所示,且
是
的中点.
(Ⅰ)求证:∥平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)试问线段上是否存在点
,使
与
成
角?若存在,确定
点位置,若不存在,说明理由.
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)二面角的余弦值为
;(Ⅲ)当点
为线段
中点时,
与
成
角.
解析试题分析:(Ⅰ)为了证明∥平面
,需要在平面
内找一条与
平行的直线,而要找这条直线一般通过作过
且与平面
相交的平面来找.在本题中联系到
为
中点,故连结
,这样便得一平面
,接下来只需证
与交线平行即可.对(Ⅱ)(Ⅲ)两个小题,由于
是直三棱柱,且
,故
两两垂直,所以可以以
为坐标轴建立空间直角坐标系来解决.
试题解析:(Ⅰ)证明:根据三视图知:三棱柱是直三棱柱,
,
连结
,交
于点
,连结
.由
是直三棱柱,得 四边形
为矩形,
为
的中点.又
为
中点,所以
为
中位线,所以
∥
, 因为
平面
,
平面
, 所以
∥平面
. 4分
(Ⅱ)解:由是直三棱柱,且
,故
两两垂直.
如图建立空间直角坐标系.
,则
.
所以 ,
设平面的法向量为
,则有
所以
取,得
. 6分
易知平面的法向量为
. 7分
由二面角是锐角,得
. 8分
所以二面角的余弦值为
.
(Ⅲ)解:假设存在满足条件的点.
因为在线段
上,
,
,故可设
,其中
.
所以 ,
. 9分
因为与
成
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,CD=2AB=4,AD=,E为CD的中点,将△BCE沿BE折起,使得CO⊥DE,其中垂足O在线段DE内.
(1)求证:CO⊥平面ABED;
(2)问∠CEO(记为θ)多大时,三棱锥C-AOE的体积最大,最大值为多少.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图所示,圆柱的高为2,底面半径为,AE、DF是圆柱的两条母线,过
作圆柱的截面交下底面于
,四边形ABCD是正方形.
(Ⅰ)求证;
(Ⅱ)求四棱锥E-ABCD的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,点D是AB的中点.
(1)求证:BC1∥平面CA1D;
(2)求证:平面CA1D⊥平面AA1B1B;
(3)若底面ABC为边长为2的正三角形,BB1= ,求三棱锥B1-A1DC的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在底面是正方形的四棱锥中,
面
,
交
于点
,
是
中点,
为
上一动点.
(1)求证:;
(1)确定点在线段
上的位置,使
//平面
,并说明理由.
(3)如果PA=AB=2,求三棱锥B-CDF的体积
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知四棱锥的三视图如下图所示,其中正视图、侧视图是直角三角形,俯视图是有一条对角线的正方形.
是侧棱
上的动点.
(1)求证:;
(2)若为
的中点,求直线
与平面
所成角的正弦值;
(3) 若四点在同一球面上,求该球的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某个实心零部件的形状是如下图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱
.
(1)证明:直线平面
;
(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理.已知,
,
,
(单位:
),每平方厘米的加工处理费为
元,需加工处理费多少元?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图,在直观图中,是
的中点,侧(左)视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.
(1)求出该几何体的体积;
(2)若是
的中点,求证:
∥平面
;
(3)求证:平面⊥平面
.
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