Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，3），B（5，1），P（2，1），点M是直线OP上的一个动点．
（Ⅰ）求|

PB

-

PA

|的值；
（Ⅱ）若四边形APBM是平行四边形，求点M的坐标；
（Ⅲ）求

MA

•

MB

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的坐标运算和模的计算公式即可得出；
（Ⅱ）利用平行四边形的性质、向量共线的性质及其坐标坐标运算即可得出；
（Ⅲ）利用向量共线和二次函数的单调性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）∵点A（3，3），B（5，1），P（2，1），
∴

PB

=(3，0)，

PA

=(1，2)，
∴

PB

-

PA

=(2，-2)，
∴|

PB

-

PA

|=

22+(-2)2

=2

2

．
（Ⅱ）设点M（x，y）．
∵四边形APBM是平行四边形，∴

PA

=

BM

，
∴（1，2）=（x-5，y-1），∴

x-5=1 y-1=2

，解得

x=6 y=3

．
∴M（6，3）．
（Ⅲ）设点M（x，y）．
则

OM

=(x，y)．
由题意

OM

∥

OP

．
∴x-2y=0，即x=2y．
∴M（2y，y）．
∴

MA

•

MB

=（3-2y，3-y）•（5-2y，1-y）
=5y²-20y+18
=5（y-2）²-2．
∴当y=2时，

MA

•

MB

取得最小值-2，此时M（4，2）．

点评：熟练掌握向量的坐标运算和模的计算公式、平行四边形的性质、向量共线的性质、向量共线定理和二次函数的单调性是解题的关键．