Question

设函数f（x）的定义域为D，如果对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=C（C为常数）成立，则称函数f（x）在D上均值为C．下列五个函数：①y=4sinx；②y=x³；③y=lgx；④y=2^x；⑤y=2x-1．则满足在其定义域上均值为2的所有函数的序号是______．

Answer 1

对于函数①y=4sinx，明显不成立，因为y=4sinx是R上的周期函数，存在无穷个的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立．故不满足条件；
对于函数②y=x³，取任意的x₁∈R，

f(x1)+f(x2)

2

=

x 31 + x 32

2

=2，x2=

3	4-  x 31

，可以得到唯一的x₂∈D．故满足条件；
对于函数③y=lgx，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然必存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立．故成立；
对于函数④y=2^x定义域为R，值域为y＞0．对于x₁=3，f（x₁）=8．要使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立，则f（x₂）=-4，不成立；
对于函数⑤y=2x-1定义域为任意实数，取任意的x₁∈R，

f(x1)+f(x2)

2

=

2x1-1+2x2-1

2

=x₁+x₂-1=2，
解得x₂=3-x₁，可以得到唯一的x₂∈R．故成立，
故答案为：②③⑤