Question

某公司生产的A型商品通过租赁柜台进入某商场销售．第一年，商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，因此，该年A型商品定价为每件70元，年销售量为12.7万件．第二年，商场开始对该商品征收比率为m%的管理费（即销售100元要征收m元），于是该商品每件的定价提高，预计年销售量将减少m万件．
（Ⅰ）将第二年商场对该商品征收的管理费y（万元）表示成m的函数，并指出这个函数的定义域；
（Ⅱ）要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于21万元，则商场对该商品征收管理费的比率m%的范围是多少？
（Ⅲ）第二年，商场在所收管理费不少于21万元的前提下，求使厂家获得最大销售金额时的m的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（12.7-m）万件，销售价格为：，
∴年销售收入为万元．
则商场该年对该商品征收的总管理费为m%（万元）
故所求函数为y=
由12.7-m＞0及m＞0得其定义域为{m|0＜m＜12.7}，
（Ⅱ）由
化简得m²-13m+30≤0，即（m-3）（m-10）≤0，解得3≤m≤10
故当比率在[3%，10%]内时，商场收取的管理费将不少于21万元．
（Ⅲ）第二年，当商场收取的管理费不少于21万元时，厂家的销售收入为，
∵为减函数，
∴g（m）_max=g（3）=700（万元）
故当比率为3%时，厂家销售金额最大，且商场所收管理费又不少于21万元．
分析：（Ⅰ）由题意可得：第二年该商品年销售量为（12.7-m）万件，销售价格为：，可得年销售收入为万元．则商场该年对该商品征收的总管理费为m%（万元），即可得所求函数．由12.7-m＞0及m＞0得其定义域．
（II）由利用y≥21，解出即可；
（III）厂家的销售收入为，利用此函数的单调性即可得出．
点评：正确理解题意和掌握“年销售收入=销售量×销售价格”及“商场该年对该商品征收的总管理费=年销售收入×m%”、一元二次不等式的解法及反比例函数的单调性等是解题的关键．