Question

过点Q (-2，

21

)作圆O：x²+y²=r²（r＞0）的切线，切点为D，且QD=4．
（1）求r的值；
（2）设P是圆O上位于第一象限内的任意一点，过点P作圆C的切线l，且l交x轴于点A，交y轴于点B，设

OK

=

OA

+

OB

，求|

OK

|的最小值（O为坐标原点）．
（3）从圆O外一点M（x₁，y₁）向该圆引一条切线，切点为T，N（2，3），且有|MT|=|MN|，求|MT|的最小值，并求此时点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用圆的切线的性质，结合勾股定理，可求r的值；
（2）设出直线方程，利用

OK

=

OA

+

OB

，表示出

OK

，求出模长，利用基本不等式即可求得结论．
（3）由题意画出过N作圆的切线，NT的中点就是所求M，求出切点坐标即可取得M点的坐标．

解答：解：（1）圆C：x²+y²=r²（r＞0）的圆心为O（0，0），则
∵过点Q（-2，

21

） 作圆C：x²+y²=r²（r＞0）的切线，切点为D，且QD=4
∴r=OD=

QO2-QD2

=

4+21-16

=3；
（2）设直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），即bx+ay-ab=0，则A（a，0），B（0，b），
∵

OK

=

OA

+

OB

，∴

OK

=（a，b），∴|

OK

|=

a2+b2

∵直线l与圆C相切，∴

|-ab|

a2+b2

=3
∴3

a2+b2

=ab≤

a2+b2

2

∴a²+b²≥36
∴|

OK

|≥6
当且仅当a=b=3

2

时，|

OK

|的最小值为6．
（3）∵切线MN⊥OT，∴|MT|²=|MO|²-9，又|MN|=|MT|，∴|MN|²=|MO|²-9，
M（x₁，y₁），过N（2，3）的直线的斜率为k，所以NT的方程为：y-3=k（x-2），
与圆的方程x²+y²=9联立，

y-3=k(x-2) x2+y2=9

，消去y可得：（k²+1）x²+2（3-2k）kx+4k²-12k=0，
因为直线与圆相切，所以△=0，即[2（3-2k）k]²-4（k²+1）（4k²-12k）=0，
化简得：5k²+12k=0，解得k=0或k=-

12

5

，
当k=0时，x=0，此时T（0，3），当k=

12

5

时，x=

36

13

，此时T（

31

13

，

27

13

）
∴满足条件的M点坐标为（1，3）或（

31

13

，

27

13

）

点评：本题考查圆的切线的性质，考查向量知识的运用，两直线垂直的性质，点到直线的距离公式应用，以及求两直线的交点坐标的方法．