Question

（2012•上海）已知等差数列{a_n}的首项及公差均为正数，令bn=

an

+

a2012-n

(n∈N*，n＜2012)．当b_k是数列{b_n}的最大项时，k=

1006

．

Answer 1

分析：设

an

=x，

a2012-n

=y，由bn=

an

+

a2012-n

(n∈N*，n＜2012)，根据基本不等式（x+y）²=x²+y²+2xy≤x²+y²+x²+y²=2（x²+y²），得b_n²=（

an

+

a2012-n

）²≤2（a_n+a_2012-n）=2（2a₁₀₀₆）=4a₁₀₀₆，由此能求出结果．

解答：解：设

an

=x，

a2012-n

=y，
∵bn=

an

+

a2012-n

(n∈N*，n＜2012)，
∴根据基本不等式（x+y）²=x²+y²+2xy≤x²+y²+x²+y²=2（x²+y²），
得b_n²=（

an

+

a2012-n

）²≤2（a_n+a_2012-n）=2（2a₁₀₀₆）=4a₁₀₀₆，
当且仅当a_n=a_2012-n时，b_n取到最大值，
此时n=1006，所以k=1006．
故答案为：1006．

点评：本题考查数列与不等式的综合应用，具体涉及到等差数列的通项公式、基本不等式的性质等基本知识，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．