Question

廊坊市某所中学有一块矩形空地，学校要在这块空地上修建一个内接四边形的花坛（如图所示），该花坛的四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知 A B=a（a＞2），BC=2，且 A E=A H=CF=CG，设 A E=x，花坛面积为y．
（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
（2）当 A E为何值时，花坛面积y最大？

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）先求得四边形ABCD，△AHE的面积，再分割法求得四边形EFGH的面积，即建立y关于x的函数关系式；
（2）由（1）知y是关于x的二次函数，用二次函数求最值的方法求解．

解答： 解：（1）S_△AEH=S_△CFG=

1

2

x²，（1分）
S_△BEF=S_△DGH=

1

2

（a-x）（2-x）．（2分）
∴y=S_ABCD-2S_△AEH-2S_△BEF=2a-x²-（a-x）（2-x）=-2x²+（a+2）x．（5分）
由

x＞0 a-x＞0 2-x≥0 a＞2

，得0＜x≤2（6分）
∴y=-2x²+（a+2）x，0＜x≤2（7分）
（2）当

a+2

4

＜2，即a＜6时，则x=

a+2

4

时，y取最大值

(a+2)2

8

．（9分）
当

a+2

4

≥2，即a≥6时，y=-2x²+（a+2）x，在（0，2]上是增函数，
则x=2时，y取最大值2a-4（11分）
综上所述：当a＜6时，AE=

a+2

4

时，绿地面积取最大值

(a+2)2

8

；当a≥6时，AE=2时，绿地面积取最大值2a-4（12分）．

点评：本题主要考查实际问题中的建模和解模能力，注意二次函数求最值的方法．