Question

【题目】关于函数f（x）=cosxsin2x，下列说法中正确的是
①y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称；②y=f（x）的图象关于直线x= 对称
③y=f（x）的最大值是 ； ④f（x）即是奇函数，又是周期函数．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①∵f（2π﹣x）+f（x）=cos（2π﹣x）sin2（2π﹣x）+cosxsin2x=﹣cosxsin2x+cosxsin2x=0，∴y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，∴①正确；
②∵f（π﹣x）=cos（π﹣x）sin2（π﹣x）=cosxsin2x=f（x），∴y=f（x）的图象关于x= 对称，故②正确；
③f（x）=cosxsin2x=2sinxcos2x=2sinx（1﹣sin2x）=2sinx﹣2sin3x，令t=sinx∈[﹣1，1]，则y=g（t）=2t﹣2t3 ， t∈[﹣1，1]，
则y′=2﹣6t2 ， 令y′＞0解得 ，
故y=2t﹣2t3 ， 在[- , ]上递增，在[﹣1，- ]和[ ,1]上递减，又g（﹣1）=0，g（ ）= ，故函数的最大值为 ，∴③错误；
④∵f（﹣x）+f（x）=+cosxsin2x+cosxsin2x=0，故是奇函数，又f（x+2π）=cos（2π+x）sin2（2π+x）=cosxsin2x，故2π是函数的周期，∴函数即是奇函数，又是周期函数
， ∴④正确．
综上知，说法中正确的是①②④．
所以答案是：①②④．
【考点精析】解答此题的关键在于理解命题的真假判断与应用的相关知识，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．