Question

已知函数f（x）=ax²-|x|+2a-1（a为实常数）．
（1）若a=1，作函数f（x）的图象；
（2）设f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式；
（3）设h(x)=

f(x)

x

，若函数h（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，f（x）=x²-|x|+1=

x2+x+1，x＜0 x2-x+1，x≥0

，由此作出函数的图象．
（2）当x∈[1，2]时，f（x）=ax²-x+2a-1，分a=0、a＜0、0＜

1

2a

＜1、1≤

1

2a

≤2、

1

2a

＞2这几种情况，结合函数
的图象，利用函数的单调性，求出g（a）的解析式．
（3）根据h（x）在区间[1，2]上是增函数，h（x₂）-h（x₁）＞0，可得ax₁x₂＞2a-1，分a=0、a＞0、a＜0分别求得实数a的取值范围，再取并集即得所求．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x²-|x|+1=

x2+x+1，x＜0 x2-x+1，x≥0

．
作图（如图所示）（4分）
（2）当x∈[1，2]时，f（x）=ax²-x+2a-1．
若a=0，则f（x）=-x-1在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=-3．（5分）
若a≠0，则f(x)=a(x-

1

2a

)2+2a-

1

4a

-1，f（x）图象的对称轴是直线x=

1

2a

．
当a＜0时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a-3．（6分）
当0＜

1

2a

＜1，即a＞

1

2

时，f（x）在区间[1，2]上是增函数，
g（a）=f（1）=3a-2．（7分）
当1≤

1

2a

≤2，即

1

4

≤a≤

1

2

时，g(a)=f(

1

2a

)=2a-

1

4a

-1，（8分）
当

1

2a

＞2，即0＜a＜

1

4

时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a-3．（9分）

综上可得g(a)=

6a-3，当a＜ 1 4 2a- 1 4a -1，当 1 4 ≤a≤ 1 2 3a-2，当a＞ 1 2

．（10分）
（3）当x∈[1，2]时，h(x)=ax+

2a-1

x

-1，在区间[1，2]上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则h(x2)-h(x1)=(ax2+

2a-1

x2

-1)-(ax1+

2a-1

x1

-1)=(x2-x1)(a-

2a-1

x1x2

)=(x2-x1)•

ax1x2-(2a-1)

x1x2

．（12分）
因为h（x）在区间[1，2]上是增函数，所以h（x₂）-h（x₁）＞0，
因为x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，所以ax₁x₂-（2a-1）＞0，即ax₁x₂＞2a-1，
当a=0时，上面的不等式变为0＞-1，即a=0时结论成立．（14分）
当a＞0时，x1x2＞

2a-1

a

，由1＜x₁x₂＜4得，

2a-1

a

≤1，解得0＜a≤1，（16分）
当a＜0时，x1x2＜

2a-1

a

，由1＜x₁x₂＜4得，

2a-1

a

≥4，解得-

1

2

≤a＜0，（17分）
综上，实数a的取值范围为[-

1

2

，1]．（18分）

点评：本题主要考查带有绝对值的函数的图象和性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意分类讨论的层次，这是解题的难点，属于中档题．