Question

在直角坐标系中，A （1，t），C（-2t，2），

OB

=

OA

+

OC

（O是坐标原点），其中t∈（0，+∞）．
（1）求四边形OABC在第一象限部分的面积S（t）；
（2）确定函数S（t）的单调区间，并求S（t）的最小值．

Answer 1

分析：（1）先根据题意可判定四边形OABC的形状，然后讨论A在第一象限，B在第一象限，C在第二象限，然后利用S（t）=S_OABC-S_△OKC进行求解，A在第一象限，B在y轴上或在第二象限，C在第二象限，根据S（t）=S_△OAM进行求解，最后利用分段函数表示即可；
（2）分别在每一段区间上利用导数符号判定函数的单调性，再根据单调性求出函数求S（t）的最小值．

解答：解：（1）∵

OB

=

OA

+

OC

，∴OABC为平行四边形，
又∵

OA

•

OC

=0，∴OA⊥OC，∴四边形OABC为矩形．
∵

OB

=

OA

+

OC

=（1-2t，2+t），
当1-2t＞0，即0＜t＜

1

2

时，
A在第一象限，B在第一象限，C在第二象限，（如图1）
此时BC的方程为：y-2=t（x+2t），
令x=0，得BC交y轴于K（0，2t²+2），
∴S（t）=S_OABC-S_△OKC=2（1-t+t²-t³）．
当1-2t≤0，即t≥

1

2

时，
A在第一象限，B在y轴上或在第二象限，C在第二象限，（如图2）
此时AB的方程为：y-t=-

1

t

（x-1），令x=0，得AB交轴于M（0，t+

1

t

），
∴S（t）=S_△OAM=

1

2

(t+

1

t

)．
∴S（t）=

2(1-t+t2-t3)，(0＜t＜ 1 2 ) 1 2 (t+ 1 t )，(t≥ 1 2 ).

（2）当0＜t＜

1

2

时，S（t）=2（1-t+t²-t³），S′（t）=2（-1+2t-3t²）＜0，
∴S（t）在（0，

1

2

）上是减函数．
当t≥

1

2

时，S（t）=

1

2

(t+

1

t

)，S′（t）=

1

2

(1-

1

t2

)，
∴S（t）在[

1

2

，1]上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．
∴当t=1时，S（t）有最小值为1．

点评：本题主要考查了函数的解析式，同时考查了函数的单调性和最值的求解，属于中档题．