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在直角坐标系中,A (1,t),C(-2t,2),
OB
=
OA
+
OC
(O是坐标原点),其中t∈(0,+∞).
(1)求四边形OABC在第一象限部分的面积S(t);
(2)确定函数S(t)的单调区间,并求S(t)的最小值.
分析:(1)先根据题意可判定四边形OABC的形状,然后讨论A在第一象限,B在第一象限,C在第二象限,然后利用S(t)=SOABC-S△OKC进行求解,A在第一象限,B在y轴上或在第二象限,C在第二象限,根据S(t)=S△OAM进行求解,最后利用分段函数表示即可;
(2)分别在每一段区间上利用导数符号判定函数的单调性,再根据单调性求出函数求S(t)的最小值.
解答:解:(1)∵
OB
=
OA
+
OC
,∴OABC为平行四边形,
又∵
OA
OC
=0
,∴OA⊥OC,∴四边形OABC为矩形.
OB
=
OA
+
OC
=(1-2t,2+t),
当1-2t>0,即0<t<
1
2
时,
A在第一象限,B在第一象限,C在第二象限,(如图1)
此时BC的方程为:y-2=t(x+2t),
令x=0,得BC交y轴于K(0,2t2+2),
∴S(t)=SOABC-S△OKC=2(1-t+t2-t3).
当1-2t≤0,即t≥
1
2
时,
A在第一象限,B在y轴上或在第二象限,C在第二象限,(如图2)
此时AB的方程为:y-t=-
1
t
(x-1),令x=0,得AB交轴于M(0,t+
1
t
),
∴S(t)=S△OAM=
1
2
(t+
1
t
)

∴S(t)=
2(1-t+t2-t3),(0<t<
1
2
)
1
2
(t+
1
t
),(t≥
1
2
).

(2)当0<t<
1
2
时,S(t)=2(1-t+t2-t3),S′(t)=2(-1+2t-3t2)<0,
∴S(t)在(0,
1
2
)上是减函数.
当t≥
1
2
时,S(t)=
1
2
(t+
1
t
)
,S′(t)=
1
2
(1-
1
t2
)

∴S(t)在[
1
2
,1]上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.
∴当t=1时,S(t)有最小值为1.
点评:本题主要考查了函数的解析式,同时考查了函数的单调性和最值的求解,属于中档题.
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x
3
y
2
2
)
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