Question

函数y=f（x）的定义域D={x|x∈R，且x≠0}，对定义域D内任意两个实数x₁，x₂，都有f（x₁）+f（x₂）=f（x₁x₂）成立．
（1）求f（-1）的值并证明y=f（x）为偶函数；
（2）若f（-4）=4，记 an=(-1)n•f(2n)

&(n∈N，n≥1)

，求数列{a_n}的前2009项的和S₂₀₀₉；
（3）（理） 若x＞1时，f（x）＜0，且不等式f(

x2+y2

)≤f(

xy

)+f(a)对任意正实数x，y恒成立，求非零实数a的取值范围．
（4）（文） 若x＞1时，f（x）＜0，解关于x的不等式 f（x-3）≥0．

Answer 1

分析：（1）利用赋值法求f（-1）的值，利用偶函数的定义判断函数为偶函数；
（2）先根据f（n）求数列{a_n}的通项，进而可求数列{a_n}的前2009项的和S₂₀₀₉；
 （3）先说明f（x）＞0（0＜x＜1）
（理）f(

x2+y2

)≤f(

xy

)+f(a)等价于f(

x2+y2

a xy

)≤0，进而有|a|≤

x2+y2

xy

恒成立，利用基本不等式有

x2+y2

xy

≥

2

，从而0＜|a|≤

2

…（18分）
（4）（文）根据函数为偶函数即f（x-3）≥0，可有0＜|x-3|≤1，从而可解不等式．

解答：解：（1）赋值得f（1）=f（-1）=0，…（2分）
∵f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x）
∴函数为偶函数              …（4分）
（2）f（-4）=4得f（2）=2，f（2ⁿ）=f（2^n-1）+f（2）
∴f（2ⁿ）=2n…（8分）
∴a_n=2•（-1）ⁿn，
∴S₂₀₀₉=-2010…（10分）
（3）设 0＜x＜1，则

1

x

＞1，0=f(1)=f(x)+f(

1

x

)，得f（x）＞0（0＜x＜1）…（14分）
（理）f(

x2+y2

)≤f(

xy

)+f(a)得f(

x2+y2

a xy

)≤0?

x2+y2

|a| xy

≥1|a|≤

x2+y2

xy

恒成立，
又

x2+y2

xy

≥

2

，从而0＜|a|≤

2

…（18分）
（4）（文）f（x-3）≥0?0＜|x-3|≤1?2≤x＜3或3＜x≤4…（18分）

点评：本题的考点是函数恒成立问题，主要考查合适的形式，考查数列与函数的关系，考查恒成立问题，关键是分离参数，利用最值法求解．